14167. Точка O
— центр грани ABCD
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. На рёбрах AD
и C_{1}D_{1}
отмечены соответственно точки M
и N
, причём DM=D_{1}N=AO
.
а) Докажите, что прямая MN
образует с плоскостью DCC_{1}
угол 30^{\circ}
.
б) Найдите угол между плоскостями MNO
и DCC_{1}
.
Ответ. \arctg(2-\sqrt{2})
.
Решение. а) Пусть ребро куба равно 2a
. Тогда
DM=D_{1}N=AO=a\sqrt{2}.
Угол между прямой MN
и плоскостью DCC_{1}
— это угол MND
. Из прямоугольного треугольника MDN
получаем, что
\tg\angle MND=\frac{MD}{DN}=\frac{MD}{\sqrt{DD_{1}^{2}+D_{1}N^{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{4a^{2}+2a^{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Следовательно, \angle MND=30^{\circ}
.
б) Пусть прямая MO
пересекает ребро BC
в точке K
, а продолжение ребра DC
— в точке L
. Из равенства треугольников BOK
и DOM
следует, что BK=DM=a\sqrt{2}
. Пусть P
— середина BC
. Тогда
CP=a,~CK=BC-BK=2a-a\sqrt{2}=a(2-\sqrt{2}),
PK=CP-CK=a-(2a-a\sqrt{2})=a(\sqrt{2}-1),
значит, треугольник CPL
подобен треугольнику PKO
с коэффициентом
k=\frac{CK}{KP}=\frac{a(2-\sqrt{2})}{a(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}.
Следовательно,
CL=kOP=\sqrt{2}\cdot a=a\sqrt{2}=D_{1}N,
а так как CL\parallel D_{1}N
, то CLND_{1}
— параллелограмм. Тогда LN\parallel CD_{1}
, а так как DC_{1}\perp CD_{1}
, то DC_{1}\perp NL
.
Пусть E
— точка пересечения DC_{1}
и NL
. Тогда DE
— ортогональная проекция наклонной ME
на плоскость CC_{1}D_{1}D
, а так как DE\perp LN
, то по теореме о трёх перпендикулярах ME\perp LN
. Поскольку LN
— прямая пересечения плоскостей MNO
и DCC_{1}
, искомый угол между этими плоскостями — это угол DEM
.
Треугольник DEL
подобен треугольнику C_{1}EN
, поэтому
\frac{DE}{EC_{1}}=\frac{DL}{C_{1}N}=\frac{DC+CL}{D_{1}C_{1}-D_{1}N}=\frac{2a+a\sqrt{2}}{2a-a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1},
значит,
DE=DC_{1}\cdot\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1}=2a\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}=a(\sqrt{2}+1).
Из прямоугольного треугольника MDE
находим, что
\tg\angle DEM=\frac{MD}{DE}=\frac{a\sqrt{2}}{a(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=2-\sqrt{2}.
Следовательно, \angle DEM=\arctg(2-\sqrt{2})
.