14176. Диагонали BE
и DF
основания ABCDEF
правильной шестиугольной призмы
ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
пересекаются в точке P
, а диагонали FE_{1}
и EF_{1}
боковой грани EFF_{1}E_{1}
пересекаются в точке Q
.
а) Докажите, что прямая QP
параллельна плоскости CB_{1}E_{1}
.
б) Найдите расстояние между указанными прямой и плоскостью, если все рёбра призмы равны 2.
Ответ. \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}
.
Решение. а) Из свойств правильного шестиугольника следует, что P
— середина FD
, а так как Q
— середина FE_{1}
как центр прямоугольника EFF_{1}E_{1}
, то PQ
—средняя линия треугольника DFE_{1}
. Значит, PQ\parallel DE_{1}
.
С другой стороны, поскольку CD\parallel C_{1}D_{1}\parallel B_{1}E_{1}
, точка D
, а значит, и прямая DE_{1}
лежат в плоскости CB_{1}E_{1}
(см. задачу 8005). Таким образом, прямая PQ
параллельна прямой DE_{1}
, лежащей в плоскости CB_{1}E_{1}
. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости прямая QP
параллельна плоскости CB_{1}E_{1}
.
б) Поскольку прямая BE
параллельна плоскости CB_{1}E_{1}
, расстояние между прямой BE
и плоскостью CB_{1}E_{1}
равно расстоянию от любой точки этой прямой, например, от центра O
основания ABCDEF
, до плоскости CB_{1}E_{1}
. Для этого рассмотрим плоскость сечения призмы, проходящего через центры O
и O_{1}
оснований и середину M
ребра CD
. Эта плоскость перпендикулярна прямой CD
, а поэтому и плоскости CB_{1}E_{1}
, и отсюда следует, что нам нужно найти длину высоты OH
треугольника OO_{1}M
. Она равна
\frac{2S_{\triangle OO_{1}M}}{O_{1}M}=\frac{OO_{1}\cdot OM}{O_{1}M}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.