14198. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF
вдвое больше стороны основания ABCDEF
. Точка O
— центр основания, точка M
— середина бокового ребра SC
. Найдите угол между прямыми OM
и AC
.
Ответ. \arccos\frac{\sqrt{3}}{4}
.
Решение. Положим AB=a
, SA=2a
. Угол между скрещивающимися прямыми OM
и AC
равен углу между пересекающимися прямыми SF
и FD
, соответственно параллельным OM
и AC
(OM
— средняя линия треугольника CSF
). Поскольку SF=SD=SA=2a
, треугольник FDS
равнобедренный, с основанием DF=a\sqrt{3}
. Следовательно, косинус искомого угла равен
\frac{SF}{\frac{1}{2}DF}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{4}.