14228. Дана правильная треугольная пирамида ABCD
с вершиной D
. Боковая грань образует с плоскостью основания угол 45^{\circ}
. Найдите углы между медианой AM
грани ACD
и плоскостями BCD
и ACD
.
Ответ. \arcsin\frac{1}{\sqrt{29}}=
и \frac{1}{2\sqrt{29}}
.
Решение. Пусть H
— центр основания ABC
, N
— середина ребра BC
, AP
— высота треугольника ADN
. Тогда DH
— высота пирамиды, AP
— перпендикуляр к плоскости BCD
, а \angle DNH=45^{\circ}
.
Можно считать, что AB=1
. Тогда
AN=\frac{\sqrt{3}}{2},~HN=\frac{\sqrt{3}}{6},~HA=\frac{\sqrt{3}}{3}
(см. задачу 1963). Из прямоугольных треугольников DHN
, APN
и AHD
находим, что
DH=HN=\frac{\sqrt{3}}{6},~AP=\frac{AN}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}},~
AD=\sqrt{HA^{2}+DH^{2}}=\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{1}{12}}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}.
По формуле для медианы треугольника находим, что
AM=\frac{1}{2}\sqrt{2AC^{2}+2AD^{2}-CD^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot1+2\cdot\frac{5}{12}-\frac{5}{12}}=\frac{\sqrt{29}}{4\sqrt{3}}.
Пусть угол наклонной AM
с плоскостью BCD
равен \varphi_{1}
. Тогда
\sin\varphi_{1}=\frac{AP}{AM}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{29}}{4\sqrt{3}}}=\frac{1}{\sqrt{29}}.
Пусть угол наклонной AM
с плоскостью ABD
равен \varphi_{2}
. Точка M
— середина наклонной CD
к плоскости ABD
, поэтому расстояние точки M
до плоскости ABD
вдвое меньше расстояния до этой плоскости от точки C
(см. задачу 9180), которое равно расстоянию от точки A
до плоскости BCD
(так как пирамида правильная), т. е. длине отрезка CP
. Следовательно,
\sin\varphi_{2}=\frac{1}{2}\sin\varphi_{1}=\frac{1}{2\sqrt{29}}.