14246. Все вершины правильного тетраэдра ABCD
находятся по одну сторону от плоскости \alpha
. Оказалось, что проекции вершин тетраэдра на плоскость \alpha
являются вершинами некоторого квадрата. Найдите значение величины AB^{2}
, если известно, что расстояния от точек A
и B
до плоскости \alpha
равны 17 и 21 соответственно.
Ответ. 32.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
, D_{1}
— проекции точек соответственно A
, B
, C
, D
на плоскость \alpha
. Пусть M
— середина ребра BD
, K
— середина ребра AC
. Проекции точек M
и K
на плоскость \alpha
— середины отрезков B_{1}D_{1}
и A_{1}C_{1}
, а значит, эти проекции совпадают с центром квадрата. Следовательно, прямая MK
перпендикулярна плоскости \alpha
. Отрезок MK
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AC
и BC
, значит, прямая MK
перпендикулярна прямым AC
и BC
, поэтому прямые AC
и BD
параллельны плоскости \alpha
, а AA_{1}C_{1}C
— прямоугольник, и A_{1}C_{1}=AC
.
Пусть сторона квадрата A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равна x
. Тогда по теореме Пифагора A_{1}C_{1}^{2}=2x^{2}
. Опустим перпендикуляр AH
на прямую BB_{1}
. Поскольку AA_{1}B_{1}H
— прямоугольник,
AA_{1}=HB_{1}=17,~AH=A_{1}B_{1}=x.
Кроме того,
BH=BB_{1}-HB_{1}=21-17=4.
Из прямоугольного треугольника ABH
получаем, что AB^{2}=16+x^{2}
. Значит,
16+x^{2}=AB^{2}=AC^{2}=A_{1}C_{1}^{2}=2x^{2},
откуда x^{2}=16
. Следовательно,
AB^{2}=2x^{2}=2\cdot16=32.