14282. Основание
ABC
тетраэдра
ABCD
и боковая грань
ABD
— равносторонние треугольники со стороной 1. Их плоскости перпендикулярны. Точка
M
— середина ребра
AC
. Найдите:
а) угол между прямыми
DM
и
BC
;
б) тангенс угла между плоскостями
ADC
и
ABC
;
в) расстояние между прямыми
DM
и
AB
;
г) синус угла прямой
DM
с плоскостью
BCD
.
Ответ. а)
60^{\circ}
; б)
2
; в)
\frac{\sqrt{15}}{10}
; г)
\frac{\sqrt{15}}{10}
.
Решение. а) Пусть
O
— середина ребра
AB
. Тогда
DO\perp AB
, а так как плоскости
ADB
и
ABC
перпендикулярны, то
DO
— перпендикуляр к плоскости
ABC
, т. е. высота тетраэдра (см. задачу 7712). Поскольку
OM\parallel BC
как средняя линия треугольника
ABC
, угол
\alpha
между скрещивающимися прямыми
DM
и
BC
равен углу между пересекающимися прямыми
DM
и
OM
, т. е. острому углу при вершине
M
прямоугольного треугольника
DOM
с катетами
OM=\frac{1}{2}
и
DO=\frac{\sqrt{3}}{2}
. Значит,
\tg\alpha=\tg\angle DMO=\frac{DO}{OM}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}.

Следовательно,
\alpha=60^{\circ}
.
б) Пусть
K
— середина отрезка
AM
. Тогда
OK
— средняя линия прямоугольного треугольника
ABM
, поэтому
OK\parallel BM
и
OK=\frac{1}{2}BM=\frac{\sqrt{3}}{4}
. Кроме того,
OK\perp AM
, а по теореме о трёх перпендикулярах
DK\perp AC
. Значит,
\angle DKO=\beta
— линейный угол двугранного угла, образованного гранями
ADC
и
ABC
.
Из прямоугольного треугольника
DOK
находим, что
\tg\beta=\tg\angle DKO=\frac{DO}{OK}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{4}}=2.

в) Пусть
L
— середина ребра
BC
, а
N
— точка пересечения средней линии
ML
треугольника
ABC
с его медианой
CO
. Тогда
N
— общая середина отрезков
ML
и
CO
. Кроме того,
ON\perp ML
, а по теореме о трёх перпендикулярах
DN\perp ML
.
Прямая
AB
параллельна
ML
, лежащей в плоскости
MDL
, поэтому прямая
ML
параллельна этой плоскости (см. задачу 8002). Тогда расстояние
d
между прямыми
DM
и
AB
равно расстоянию от любой точки прямой
AB
(например, от точки
O
) до плоскости
MDL
(см. задачу 7889).
Пусть
OH
высота прямоугольного треугольника
DON
. Тогда
OH
— перпендикуляр к плоскости
MDL
, так как
OH\perp DN
и
OH\perp ML
. Значит, расстояние между прямыми
DM
и
AB
равно длине отрезка
OH
. Следовательно,
d=OH=\frac{DO\cdot ON}{DN}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}}{\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{3}{16}}}=\frac{3}{2\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{10}.

г) Синус угла
\gamma
наклонной
MD
с плоскостью
BCD
равен отношению расстояния
h
от точки
M
до плоскости
BCD
к длине наклонной
MD
.
Из прямоугольного треугольника
DOM
находим, что
MD=\sqrt{DO^{2}+OM^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=1.

Прямая
MO
параллельна прямой
BC
, лежащей в плоскости
BCD
, поэтому прямая
MO
параллельна этой плоскости. Значит, расстояние от точки
M
до плоскости
BCD
равно расстоянию до этой плоскости от точки
O
.
Пусть
OF
— перпендикуляр к
BC
, а
OP
— высота прямоугольного треугольника
DOF
. Тогда
OP
— перпендикуляр к плоскости
BCD
. Прямоугольные треугольники
DOF
и
DON
равны по двум катетам, так как катет
DO
общий, а
OF=\frac{1}{2}AL=\frac{\sqrt{3}}{4}=ON.

Значит, равны их соответствующие высоты, т. е.
h=OP=OH=\frac{\sqrt{15}}{10}.

Следовательно,
\sin\gamma=\frac{h}{MD}=\frac{\frac{\sqrt{15}}{10}}{1}=\frac{\sqrt{15}}{10}.