14287. Основание четырёхугольной пирамиды SKLMN
— квадрат KLMN
со стороной 4\sqrt{2}
. Ортогональная проекция вершины S
на плоскость основания совпадает с точкой M
. Двугранный угол пирамиды при ребре SK
равен 120^{\circ}
. Найдите:
а) величину плоского угла SLK
;
б) высоту треугольника SNK
, опущенную из вершины N
;
в) двугранный угол при ребре KL
;
г) угол между прямыми SK
и MN
;
д) угол между плоскостями SNK
и SML
;
е) расстояние от точки L
до плоскости SMK
;
ж) расстояние от точки N
до плоскости SKL
;
з) угол между прямой SN
и плоскостью SKL
;
и) расстояние между прямыми SN
и ML
.
Ответ. а) 90^{\circ}
; б) \frac{8}{\sqrt{3}}
; в) 45^{\circ}
; г) \arctg\sqrt{2}
; д) 45^{\circ}
; е) 4
; ж) 4
; з) 30^{\circ}
; и) 4
.
Решение. Диагональ квадрата равна его стороне, умноженной на \sqrt{2}
, т. е.
KM=LN=MN\sqrt{2}=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=8.
Пусть O
— центр квадрата KLMN
, OH
— перпендикуляр к ребру SK
. Тогда плоскость LHN
перпендикулярна прямой SK
, так как SK\perp OH
и SK\perp LN
. Значит, линейный угол двугранного угла при ребре SK
пирамиды — это угол LHN
. По условию \angle LHN=120^{\circ}
. Треугольник LHN
равнобедренный. Его медиана HO
является высотой и биссектрисой, поэтому
OH=OL\tg OLH=\frac{1}{2}LN\tg30^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot8\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}.
Обозначим \angle MKS=\gamma
. Тогда
\sin\gamma=\frac{OH}{OK}=\frac{\frac{4}{\sqrt{3}}}{4}=\frac{1}{\sqrt{3}},~\cos\gamma=\sqrt{\frac{2}{3}},~\tg\gamma=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Значит,
SM=KM\tg\gamma=8\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2},~
а) По теореме о трёх перпендикулярах KL\perp SL
, следовательно, \angle SLK=90^{\circ}
.
б) Поскольку SK\perp NH
, отрезок NH
— высота прямоугольного треугольника SNK
. Из прямоугольного треугольника NOH
с углом 30^{\circ}
при вершине N
находим, что
NH=2OH=\frac{8}{\sqrt{3}}.
в) Прямая KL
перпендикулярна плоскости SML
, поэтому линейный угол двугранного угла пирамиды при ребре KL
— это угол MLS
. Из прямоугольного треугольника MLS
с катетами ML=SM=4\sqrt{2}
находим, что \angle MLS=45^{\circ}
.
г) Поскольку MN\parallel LK
, угол \alpha
между скрещивающимися прямыми SK
и MN
равен углу между пересекающимися прямыми SK
и LK
, т. е. острому углу SKL
, прямоугольного треугольника SKL
, а так как SL=SM\sqrt{2}=8
, то
\alpha=\arctg\frac{SL}{KL}=\arctg\frac{8}{4\sqrt{2}}=\arctg\sqrt{2}.
д) Плоскости SNK
и SML
проходят через параллельные прямые соответственно KN
и LM
и имеют общую точку S
. Значит, эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку S
параллельно KN
и LM
. Эта прямая перпендикулярна прямым SN
и LM
, соответственно перпендикулярным KN
и LM
, следовательно, угол между плоскостями SNK
и SML
равен углу MSN
, равному острому углу равнобедренного прямоугольного треугольника MSN
, т. е. 45^{\circ}
.
е) Прямая LO
перпендикулярна пересекающимся прямым KM
и SM
плоскости SMK
, значит, LO
— перпендикуляр к этой плоскости, и поэтому расстояние от точки L
до плоскости SMK
равно LO=\frac{1}{2}LN=4
.
ж) Прямая MN
параллельна прямой KL
, лежащей в плоскости SKL
, поэтому прямая MN
параллельна плоскости SKL
. Значит, расстояние d
от точки N
до плоскости SKL
равно расстоянию до этой плоскости от точки M
, т. е. высоте MQ
равнобедренного прямоугольного треугольника SML
, проведённой из вершины прямого угла. Следовательно,
d=MQ=\frac{ML}{\sqrt{2}}=4.
з) Пусть \varphi
— угол между прямой SN
и плоскостью SKL
, а h
— расстояние от точки N
до этой плоскости. Поскольку прямая MN
параллельна прямой KL
, лежащей в плоскости SKL
, прямая MN
параллельна этой плоскости. Значит, расстояние от точки N
до плоскости SKL
равно расстоянию до этой плоскости от точки M
, т. е. высоте MQ
равнобедренного прямоугольного треугольника SML
, проведённой из вершины прямого угла. Тогда
h=MQ=\frac{LM}{\sqrt{2}}=4.
Тогда
\sin\varphi=\frac{h}{SN}=\frac{h}{MN\sqrt{2}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}
Следовательно, \varphi=30^{\circ}
.
и) Поскольку прямая ML
параллельна прямой KN
, лежащей в плоскости SNK
, прямая ML
параллельна этой плоскости. Значит, расстояние p
между прямыми SN
и ML
равно расстоянию от произвольной точки прямой ML
, например, от точки M
, до плоскости SNK
, т. е. высоте MF
равнобедренного прямоугольного треугольника SMN
, проведённой из вершины прямого угла. Следовательно,
p=MF=4.