1429. Два угла треугольника равны 40^{\circ}
и 80^{\circ}
. Найдите углы треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.
Ответ. 50^{\circ}
, 60^{\circ}
, 70^{\circ}
.
Указание. Стороны второго треугольника отсекают от данного треугольника равнобедренные треугольники.
Решение. Пусть углы A
и B
треугольника ABC
равны соответственно 40^{\circ}
и 80^{\circ}
. Тогда угол
\angle C=180^{\circ}-40^{\circ}-80^{\circ}=60^{\circ}.
Обозначим через A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
точки касания вписанной окружности треугольника ABC
со сторонами BC
, AC
и AB
соответственно. Из равнобедренного треугольника AB_{1}C_{1}
находим, что
\angle AC_{1}B_{1}=70^{\circ},
а из равнобедренного треугольника BA_{1}C_{1}
—
\angle BC_{1}A_{1}=50^{\circ}.
Следовательно,
\angle A_{1}C_{1}B_{1}=180^{\circ}-\angle AC_{1}B_{1}-\angle BC_{1}A_{1}=180^{\circ}-70^{\circ}-50^{\circ}=60^{\circ}.
Остальное аналогично.