14291. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA'B'C'D'
известно, что AB=3
, AD=4
. На ребре DD'
выбрана такая точка M
, что сечение параллелепипеда плоскостью AC'M
— четырёхугольник наименьшего периметра. В каком отношении точка M
делит ребро DD'
?
Ответ. DM:MD'=4:3
.
Решение. Плоскость сечения пересекает параллельные грани куба по параллельным прямым (см. задачу 8009), поэтому наше сечение — параллелограмм AMC'N
. Значит, его периметр будет наименьшим тогда и только тогда, когда наименьшей будет длина ломаной AMC'
.
Рассмотрим развёртку граней AA'D'D
и DD'C'C
на плоскость. Поскольку
AM+MC'\geqslant AC',
то длина ломаной AMC
будет наименьшей, если точка M
совпадёт с точкой T
пересечения DD'
и AC'
. Треугольники ATD
и C'TD
подобны, значит,
DT:TD'=AD:D'C'=4:3.
Примечание. Отметим, что центр симметрии любого сечения, содержащего диагональ AC'
совпадает с центром симметрии параллелепипеда, поэтому B'N=DM
и NB=D'M
.