14301. Выразите бимедиану тетраэдра через его рёбра.
Ответ. MN=\frac{1}{2}\sqrt{DA^{2}+BC^{2}+DB^{2}+AC^{2}-DC^{2}-AB^{2}}
, где M
и N
— середины рёбер AB
и DC
тетраэдра ABCD
.
Решение. Обозначим
\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{a},~\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{b},~\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{c},~\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{a'},~\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b'},~\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{c'}.
Пусть соответствующие рёбра тетраэдра равны a
, b
, c
, a'
, b'
, c'
, а M
и N
— середины рёбер соответственно AB
и CD
тетраэдра ABCD
. Тогда (см. задачу 4500)
\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB})-\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}),
\overrightarrow{NM}^{2}=\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{ac}+2\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}),
а так как
\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\overrightarrow{c'},~\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b'},~\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a'},
то
2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=a^{2}+b^{2}-c'^{2},~2\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}=a^{2}+c^{2}-b'^{2},~2\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}=b^{2}+c^{2}-a'^{2}.
Следовательно,
MN^{2}=\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+(a^{2}+b^{2}-c'^{2})+(a^{2}+c^{2}-b'^{2})+(a^{2}+b^{2}-a'^{2}))=
=\frac{1}{4}(a^{2}+a'^{2}+b^{2}+b'^{2}-c^{2}-c'^{2}).