14305. Докажите, что медиана тетраэдра меньше среднего арифметического его рёбер, исходящих из той же вершины.
Решение. Пусть M
— точка пересечения медиан тетраэдра грани ABC
тетраэдра ABCD
. Тогда
\overrightarrow{DM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC})
(см. задачу 4505). Модуль суммы нескольких векторов не превосходит суммы модулей этих векторов, следовательно,
DM\leqslant\frac{1}{3}(DA+DB+DC).
Что и требовалось доказать.