14318. На продолжении боковых рёбер BB_{1}
и CC_{1}
треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
за вершины B
и C
отложены отрезки BB_{2}
и CC_{2}
. Пусть AA_{1}=a
, BB_{2}=b
, CC_{2}=c
, а объём многогранника A_{1}B_{1}C_{1}AB_{2}C_{2}
равен V
. Докажите, что
V=\frac{1}{3}S'(a+b+c),
где S'
— площадь перпендикулярного сечения призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
.
Решение. Первый способ. Пусть h
— расстояние между прямыми BB_{1}
и CC_{1}
. Тогда площадь трапеции (или параллелограмма) BCC_{2}B_{2}
равна
\frac{1}{2}(BB_{2}+CC_{2})h=\frac{1}{2}(b-a+c-a)h=\frac{1}{2}(b+c-2a)h.
Пусть d
— расстояние между прямой AA_{1}
и плоскостью грани BB_{1}C_{1}C
. Тогда высота четырёхугольной пирамиды с вершиной A
и основанием BCC_{2}B_{2}
, а также высота перпендикулярного сечения, проведённого через точку A
, равны d
. Значит,
Пусть V_{1}
— объём указанной пирамиды, а V_{2}
— объём призмы. Тогда
V_{1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}(b+c-2a)hd,~V_{2}=\frac{1}{2}S_{BB_{1}C_{1}C}\cdot d=\frac{1}{2}ahd
(см. задачу 7237). Следовательно,
V=V_{1}+V_{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}(b+c-2a)hd+\frac{1}{2}ahd=\frac{1}{6}dh(b+c+a)=\frac{1}{3}S'(a+b+c).
Второй способ. Разобьём многогранник A_{1}B_{1}C_{1}AB_{2}C_{2}
на три треугольных пирамиды: A_{1}AB_{2}C_{2}
с вершиной A_{1}
, B_{1}A_{1}C_{1}B_{2}
с вершиной B_{1}
, C_{2}A_{1}B_{2}C_{1}
с вершиной C_{2}
. Объём любой пирамиды равен трети произведения её бокового ребра на площадь ортогональной проекции основания на плоскость, перпендикулярную этому ребру (см. задачу 9415). В нашем случае каждая из эти проекция — перпендикулярное сечение призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. Следовательно,
V=V_{A_{1}AB_{2}C_{2}}+V_{B_{1}A_{1}C_{1}B_{2}}+V_{C_{2}A_{1}B_{2}C_{1}}=\frac{1}{3}S'a+\frac{1}{3}S'b+\frac{1}{3}c=\frac{1}{3}S'(a+b+c).
Примечание. Многогранник A_{1}B_{1}C_{1}AB_{2}C_{2}
называется клином.