14328. Докажите, что сумма трёх произведений противоположных рёбер тетраэдра, меньше удвоенной суммы произведений рёбер при одной вершине, взятых попарно.
Решение. Рассмотрим тетраэдр ABCD
с рёбрами BC=a
, AC=b
, AB=c
, DA=a_{1}
, DB_{1}=b_{1}
DC=c_{1}
. Требуется доказать, что
aa_{1}+bb_{1}+cc_{1}\lt2(a_{1}b_{1}+a_{1}c_{1}+b_{1}c_{1}).
По неравенству треугольника
a\lt b_{1}+c_{1},~b\lt a_{1}+c_{1},~c\lt a_{1}+b_{1},
поэтому
aa_{1}+bb_{1}+cc_{1}\lt(b_{1}+c_{1})a_{1}+(a_{1}+c_{1})b_{1}+(a_{1}+b_{1})c_{1}=2(a_{1}b_{1}+a_{1}c_{1}+b_{1}c_{1}).
Что и требовалось доказать.