14329. Докажите, что сумма всех рёбер тетраэдра не превышает 4R\sqrt{6}
, где R
— радиус сферы, описанной около тетраэдра.
Решение. Докажем сначала, что для любых положительных чисел x_{1}
, x_{2}
, …, x_{n}
верно неравенство
(x_{1}+x_{1}+\dots+x_{n})^{2}\leqslant n(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots+x_{n}^{2}).
Действительно,
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\geqslant2x_{1}x_{2},~x_{1}^{2}+x_{3}^{2}\geqslant2x_{1}x_{3},\dots,~x_{n-1}^{2}+x_{n}^{2}\geqslant2x_{n-1}x_{n}
(всего C_{n}^{2}
неравенств). Прибавив сумму этих неравенств к тождеству
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots+x_{n}^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots+x_{n}^{2}
получим
(x_{1}+x_{1}+\dots+x_{n})^{2}\leqslant x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots+x_{n}^{2}+(n-1)(x_{1}^{2}+x^{2}+\dots+x_{n}^{2})=
=n(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots+x_{n}^{2}).
Что и требовалось доказать.
Рассмотрим тетраэдр ABCD
с рёбрами BC=a
, AC=b
, AB=c
, DA=a_{1}
, DB_{1}=b_{1}
DC=c_{1}
. Пусть O
— центр его описанной сферы, G
— точка пересечения медиан. Тогда
OG^{2}=R^{2}-\frac{1}{16}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2})
(см. задачу 7149), а так как OG^{2}\geqslant0
, то
a^{2}+b^{2}+c^{2}+a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}\leqslant16R^{2}.
В то же время, по доказанному выше
(a+b+c+a_{1}+b_{1}+c_{1})^{2}\leqslant6(a^{2}+b^{2}+c^{2}+a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2})\leqslant6\cdot16R^{2}.
Следовательно,
a+b+c+a_{1}+b_{1}+c_{1}\leqslant4R\sqrt{6}.
Что и требовалось доказать.
2aa_{1}\leqslant a^{2}+a_{1}^{2},~2bb_{1}\leqslant b^{2}+b_{1}^{2},~2cc_{1}\leqslant c^{2}+c_{1}^{2},
поэтому
(a+b+c+a_{1}+b_{1}+c_{1})^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}
Примечание. Равенство достигается, если точки G
и O
совпадают, т. е. для равногранного тетраэдра (см. задачу 7183).