14335. Пусть S
— площадь основания прямоугольного тетраэдра, а R
— радиус его описанной сферы, h
— высота, опущенная на основание, а S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
— площади боковых граней. Докажите, что:
а) S\sqrt{3}\leqslant2R^{2}
;
б) S_{1}+S_{2}+S_{3}\geqslant\frac{9}{2}h^{2}
.
Решение. а) См. задачу 14334.
б) Докажем сначала, что для любых трёх положительных чисел x
, y
и z
верно неравенство
(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geqslant9xyz.
Действительно (см. примечание к задаче 3399),
\frac{x+y+z}{3}\cdot\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3}\geqslant\sqrt[{3}]{{xyz}}\cdot\sqrt[{3}]{{x^{2}y^{2}z^{2}}}=xyz.
Что и требовалось доказать.
Пусть боковые рёбра данного тетраэдра равны a
, b
и c
. Тогда (см. задачу 7608)
h^{2}=\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}},~
а так как
S_{1}+S_{2}+S_{3}=\frac{1}{2}(ab+ac+bc),
то
S_{1}+S_{2}+S_{3}\geqslant\frac{9}{2}h^{2}~\Leftrightarrow~\frac{1}{2}(ab+ac+bc)\geqslant\frac{9}{2}\cdot\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~(ab+ac+bc)(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})\geqslant9a^{2}b^{2}c^{2}.
Последнее неравенство верно по доказанному выше. Отсюда следует утверждение б). Что и требовалось доказать.