14339. Вычислите площадь основания ABC
прямоугольного тетраэдра ABCD
, если DA=a
и \angle BAC=45^{\circ}
.
Ответ. \frac{a^{2}}{2}
.
Решение. Обозначим DB=b
, DC=c
, S_{\triangle ABC}=S
. Тогда
S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{4}\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot\sqrt{a^{2}+c^{2}}.
Сумма квадратов площадей боковых граней прямоугольного тетраэдра равна квадрату площади основания (см. задачу 7239), т. е.
\frac{1}{4}(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})=\frac{1}{8}(a^{2}+b^{2})(a^{2}+c^{2}),
или
\frac{1}{4}(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})=\frac{1}{8}(a^{4}+a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}),
т. е.
S^{2}=\frac{1}{8}a^{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})=\frac{1}{8}a^{4}+\frac{1}{2}S^{2},
откуда S^{2}=\frac{a^{2}}{4}
. Следовательно, S=\frac{a^{2}}{2}
.