14346. В основании пирамиды SABCD
лежит трапеция ABCD
с основаниями AD
и BC
, равными 8 и 3 соответственно. Точки M
и N
лежат на рёбрах SD
и BC
соответственно, причём SM:MD=3:2
, BN:NC=1:2
. Плоскость AMN
пересекает ребро SC
в точке K
.
а) Докажите, что SK:KC=6:1
.
б) Плоскость AMN
делит пирамиду SABCD
на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.
Ответ. 146:239
.
Решение. а) Пусть прямые AN
и CD
пересекаются в точке E
. Прямые AD
и BC
параллельны, поэтому
\frac{EC}{ED}=\frac{NC}{AD}=\frac{\frac{2}{3}BC}{AD}=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{8}=\frac{1}{4}.
Прямая MN
, лежащая в плоскости AMN
, пересекает ребро SC
в точке K
. Пусть прямая, проведённая через точку C
параллельно EM
, пересекает ребро SD
в точке Q
. Тогда по теореме Фалеса
\frac{MQ}{MD}=\frac{EC}{ED}=\frac{1}{4}.
Следовательно,
\frac{SK}{KC}=\frac{SM}{MQ}=\frac{SM}{\frac{1}{4}MD}=4\cdot\frac{SM}{MD}=4\cdot\frac{3}{2}=6.
Что и требовалось доказать.
б) Пусть высота трапеции равна r
, а высота пирамиды SABCD
равна h
. Тогда расстояния от точки E
до прямых AD
и BC
равны \frac{4}{3}r
и \frac{1}{3}r
соответственно, а расстояния от точек M
и K
до плоскости ABC
, т. е. высоты треугольных пирамид MAED
и KNEC
, равны \frac{3}{5}h
и \frac{1}{7}h
соответственно.
Пусть объёмы пирамид SABC
, MAED
и KNEC
равны соответственно V
, V_{1}
и V_{2}
соответственно. Тогда
V=\frac{1}{3}S_{ABCD}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{3+8}{2}rh=\frac{11}{6}rh,
V_{1}=\frac{1}{3}S_{\triangle AED}\cdot\frac{2}{5}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot8\cdot\frac{4}{3}r\cdot\frac{2}{5}h=\frac{32}{45}rh.
V_{2}=\frac{1}{3}S_{\triangle NEC}\cdot\frac{1}{7}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{1}{3}r\cdot\frac{1}{7}h=\frac{1}{63}rh.
Плоскость AMN
делит пирамиду на два многогранника. Объём многогранника, содержащего вершину C
, равен
V_{1}-V_{2}=\frac{32}{45}rh-\frac{1}{63}rh=\frac{73}{105}h.
Значит, объём второго многогранника равен
V-(V_{1}-V_{2})=\frac{11}{6}rh-\frac{73}{105}rh=\frac{239}{210}rh.
Следовательно, искомое отношение равно
\frac{\frac{73}{105}h}{\frac{239}{210}rh}=\frac{146}{239}.