14349. Пусть S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
, S_{4}
— площади граней тетраэдра, а R
— радиус его описанной сферы. Докажите, что
S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}\leqslant\frac{8\sqrt{3}}{3}R^{2}.
Решение. Пусть ABCD
— произвольный тетраэдр, в котором
S_{\triangle ABC}=S_{1},~S_{\triangle BDC}=S_{2},~S_{\triangle ADC}=S_{3},~S_{\triangle ADB}=S_{4}.
Обозначим,
BC=a,~AC=b,~AB=c,~DA=a_{1},~DB=b_{1},~DC=c_{1}.
Тогда (см. задачу 3227)
4\sqrt{3}S_{1}\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2},~4\sqrt{3}S_{2}\leqslant a^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2},
4\sqrt{3}S_{3}\leqslant a_{1}^{2}+b^{2}+c_{1}^{2},~4\sqrt{3}S_{4}\leqslant a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c^{2}.
Сложив эти неравенства и учитывая, что
a^{2}+b^{2}+c^{2}+a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}\leqslant16R^{2}
(см. задачу 14334), получим
4\sqrt{3}(S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4})\leqslant2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2})\leqslant2\cdot16R^{2}.
Следовательно,
S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}\leqslant\frac{8}{\sqrt{3}}R^{2}=\frac{8\sqrt{3}}{3}R^{2}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Равенство выполняется только для правильного тетраэдра.