14350. Плоскость образует углы \alpha
, \beta
и \gamma
с боковыми гранями прямоугольного тетраэдра. Докажите, что
\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma\leqslant\sqrt{3}.
Решение. Пусть S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
— площади боковых граней ADB
, BDC
и ADC
(с прямыми углами при вершине D
) тетраэдра ABCD
, S
— площадь основания, S_{1}'
— площадь ортогональной проекции грани ADB
на плоскость основания, а угол между плоскостями ADB
и ABC
равен \alpha
. Тогда S_{1}^{2}=S_{1}'\cdot S
(см. задачу 7239), поэтому
\cos\alpha=\frac{S_{1}'}{S_{1}}=\frac{S_{1}}{S}
(см. задачу 8093). Аналогично, \cos\beta=\frac{S_{2}}{S}
и \cos\gamma=\frac{S_{3}}{S}
, Разделив на S
обе части неравенства
S_{1}+S_{2}+S_{3}\leqslant S\sqrt{3}
(см. задачу 14310), получим
\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=\frac{S_{1}}{S}+\frac{S_{2}}{S}+\frac{S_{3}}{S}\leqslant\sqrt{3}
Что и требовалось доказать.