14356. Пусть m_{1}
, m_{2}
, m_{3}
, m_{4}
— медианы тетраэдра, R
и r
— радиусы соответственно описанной и вписанной сфер тетраэдра. Докажите, что
16r\leqslant m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}\leqslant\frac{16}{3}R,
причём равенства достигаются для равногранного тетраэдра.
Решение. Пусть h_{1}
, h_{2}
, h_{3}
, h_{4}
— высоты тетраэдра. Среднее арифметическое чисел m_{1}
, m_{2}
, m_{3}
, m_{4}
не меньше их среднего геометрического (см. примечание к задаче 3399), а так как \sqrt[{4}]{{h_{1}h_{2}h_{3}h_{4}}}\geqslant4r
(см. задачу 14308), то
\frac{m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}}{4}\geqslant\sqrt[{4}]{{m_{1}m_{2}m_{3}m_{4}}}\geqslant\sqrt[{4}]{{h_{1}h_{2}h_{3}h_{4}}}\geqslant4r.
Следовательно,
m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}\geqslant16r.
Равенство достигается в случае, когда высоты тетраэдра равны, т. е. когда тетраэдр равногранный (см. примечание к задаче 7282).
Среднее арифметическое чисел m_{1}
, m_{2}
, m_{3}
, m_{4}
не меньше их среднего квадратичного (см. примечание к задаче 3399), поэтому
\frac{m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}}{4}\leqslant\sqrt{\frac{m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}}{4}},
причём равенство достигается в случае, когда m_{1}=m_{2}=m_{3}=m_{4}
, или
\frac{3}{4}m_{1}=\frac{3}{4}m_{2}=\frac{3}{4}{m_{3}}=\frac{3}{4}m_{4}.
Это означает, что точка пересечения медиан тетраэдра равноудалена от всех его вершин, и поэтому совпадает с центром описанной сферы тетраэдра. Тогда тетраэдр равногранный (см. задачу 8681, п.12 ), и
\frac{3}{4}m_{1}=\frac{3}{4}m_{2}=\frac{3}{4}{m_{3}}=\frac{3}{4}m_{4}=R.
Следовательно,
\frac{m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}}{4}\leqslant\sqrt{\frac{4\left(\frac{4}{3}R\right)^{2}}{4}}=\frac{4}{3}R.
Следовательно,
m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}\leqslant\frac{16}{3}R.