14359. Докажите, что из всех прямоугольных параллелепипедов с постоянной площадью S
полной поверхности наибольший объём имеет куб. Найдите этот наибольший объём.
Ответ. \frac{S\sqrt{S}}{6\sqrt{6}}
.
Решение. Пусть a
, b
и c
— измерения данного прямоугольного параллелепипеда, V
— его объём. Обозначим ab=x
, ac=y
, bc=z
. Тогда
\frac{1}{2}S=ab+ac+bc=x+y+z,~V=abc=\sqrt{xyz}.
Из неравенства
\sqrt[{3}]{{xyz}}\leqslant\frac{x+y+z}{3},
которое обращается в равенство в случае, когда x=y=z
(см. примечание к задаче 3399), следует, что при постоянной сумме x+y+z
произведение xyz
максимально, если x=y=z
, т. е. ab=ac=bc
. Следовательно, в этом случае a=b=c
, т. е. параллелепипед — куб. Что и требовалось доказать.
Из равенства
ab+ac+bc=3a^{2}=\frac{1}{2}S
находим, что
a=b=c=\sqrt{\frac{S}{6}}.
Следовательно,
V_{\mbox{max}}=abc=\left(\sqrt{\frac{S}{6}}\right)^{3}=\frac{S\sqrt{S}}{6\sqrt{6}}.