14373. Нужно сделать воздушный змей в форме прямой призмы, имеющей основанием прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 50 см. Боковая поверхность этой призмы имеет площадь 0,96 квадратных метров. Какими должны быть катеты основания, чтобы сумма длин всех рёбер призмы была наименьшей?
Ответ. 30 и 40.
Решение. Пусть стороны основания призмы равны x
и y
, высота равна z
, площадь её боковой поверхности равна S
, а сумма всех рёбер равна l
. Обозначим x+y+50=t
и переведём квадратные метры в квадратные сантиметры. Тогда
x^{2}+y^{2}=2500,~l=2(x+y+50)+3z=2t+3z,
S=(x+y+50)z=tz=9600,~z=\frac{9600}{t}.
Следовательно,
l=2t+3z=2t+\frac{3\cdot9600}{t}=2\left(t+\frac{3\cdot4800}{t}\right)\geqslant
\geqslant2\cdot2\sqrt{t\cdot\frac{3\cdot4800}{t}}=2\cdot120=240,
причём равенство достигается в случае, когда t=\frac{3\cdot4800}{t}
, т. е. при t=120
. Тогда x+y+50=120
, откуда
z=\frac{9600}{t}=\frac{9600}{120}=80,~x+y=120-50=70.
Таким образом, имеем систему
\syst{x+y=70\\x^{2}+y^{2}=2500,\\}
из которой находим, что x=30
, y=40
или x=40
, y=30
.