14374. Требуется изготовить коробку в форме прямоугольного параллелепипеда. Площадь дна коробки должна быть равна 2, а боковая поверхность — 18. При каких размерах коробки сумма длин её рёбер будет наименьшей?
Ответ. 1\times2\times3
.
Решение. Обозначим измерения основания параллелепипеда (дна коробки) через x
и y
, а высоту параллелепипеда — через z
. Тогда xy=2
— площадь основания, 2(x+y)z
— площадь боковой поверхности, а 4(x+y+z)
— сумма всех рёбер параллелепипеда. Значит, z=\frac{9}{x+y}
, поэтому
4(x+y+z)=4\left(x+y+\frac{9}{x+y}\right)\geqslant4\cdot2\sqrt{(x+y)\cdot\frac{9}{x+y}}=8\sqrt{9}=24,
причём равенство достигается в случае, когда x+y=\frac{9}{x+y}
, т. е. при x+y=3
. Тогда z=\frac{9}{x+y}=3
. Таким образом, имеем систему
\syst{x+y=3\\xy=2,\\}
из которой находим, что x=1
, y=2
или x=2
, y=1
.