14377. Высота треугольной пирамиды равна h
, сумма девяти плоских углов при всех вершинах основания равна \alpha
. Известно, что существует шар, касающийся всех боковых граней в точках пересечения их медиан. Докажите, что пирамида правильная. Найдите радиус шара.
Ответ. \frac{2h\tg\frac{\alpha-180^{\circ}}{6}}{\sqrt{3}\left(3\tg^{2}\frac{\alpha-180^{\circ}}{6}-1\right)}
.
Решение. Пусть SABC
— данная пирамида, M_{1}
и M_{2}
— точки пересечения медиан граней ASB
и BSC
соответственно, точки D
, E
и K
— середины рёбер SA
, SC
и AB
соответственно.
Отрезки касательных, проведённых к шару из одной точки, равны, поэтому BM_{1}=BM_{2}
и SM_{1}=SM_{2}
. Значит, треугольники BM_{1}S
и BM_{2}S
равны по трём сторонам. Тогда
\angle DBS=\angle M_{1}BS=\angle M_{2}BS=\angle EBS,
и треугольники DBS
и EBS
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому
\angle ASB=\angle DSB=\angle ESB=\angle CSB,~\mbox{и}~SA=2SD=2SE=SC.
Значит, треугольники ASB
и BSC
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому AB=BC
.
Аналогично,
\angle BSC=\angle ASC~\mbox{и}~SB=SC.
Таким образом, боковые рёбра пирамиды равны, а основание — равносторонний треугольник. Следовательно, пирамида правильная. Что и требовалось доказать.
Пусть r
— радиус шара, O
— центр шара, SH=h
— высота пирамиды. Обозначим через a
сторону основания пирамиды, а через \beta
— угол бокового ребра с плоскостью основания. Поскольку пирамида правильная, из условия задачи следует, что
3\cdot60^{\circ}+6\beta=\alpha,
откуда
\beta=\frac{\alpha-180^{\circ}}{6}.
Из прямоугольных треугольников BSK
и BSH
получаем
SK=BK\tg\angle KBS=\frac{a}{2}\tg\beta,~SK^{2}=SH^{2}+HK^{2}=h^{2}+\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^{2}.
Значит,
\frac{a^{2}\tg^{2}\beta}{4}=h^{2}+\frac{a^{2}}{12},
откуда
a^{2}=\frac{12h^{2}}{3\tg^{2}\beta-1},~
Прямоугольные треугольники SM_{1}O
и SHK
подобны, поэтому \frac{OM_{1}}{HK}=\frac{SM_{1}}{SH}
, или
\frac{r}{\frac{a\sqrt{3}}{6}}=\frac{\frac{2}{3}SK}{h}.
Следовательно,
r=\frac{\frac{2}{3}SK}{h}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{SK\cdot a\sqrt{3}}{9h}=\frac{\frac{a}{2}\tg\beta\cdot a\sqrt{3}}{9h}=\frac{a^{2}\sqrt{3}\tg\beta}{18h}=
=\frac{12h^{2}}{3\tg^{2}\beta-1}\cdot\frac{\sqrt{3}\tg\beta}{18h}=\frac{2h\sqrt{3}\tg\beta}{3(3\tg^{2}\beta-1)}=\frac{2h\tg\frac{\alpha-180^{\circ}}{6}}{\sqrt{3}\left(3\tg^{2}\frac{\alpha-180^{\circ}}{6}-1\right)}.