14382. Высота конуса в четыре раза больше радиуса шара, вписанного в конус. Образующая конуса равна l
. Найдите боковую поверхность конуса и радиус шара, описанного около конуса.
Ответ. \frac{\pi l^{2}}{3}
, \frac{3l\sqrt{2}}{8}
.
Решение. Пусть O
— центр основания конуса с вершиной P
и образующей SA=l
, радиус основания равен R
, а радиус шара с центром I
, вписанного в конус, равен R
. Рассмотрим осевое сечение конуса APB
и вписанную в это сечение окружность радиуса r
.
Отрезок PO
— высота конуса, а также высота равнобедренного треугольника APB
, опущенная на основание. Из условия следует, что PO=4r
. Пусть вписанная окружность треугольника APB
касается его боковой стороны AP
в точке M
. Обозначим \angle MIP=\angle BAP=\alpha
. В прямоугольном треугольнике IMP
известно, что
IP=PO-IO=4r-r=3r,~\cos\alpha=\frac{IM}{IP}=\frac{r}{3r}=\frac{1}{3},~\cos\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Из прямоугольного треугольника AOP
получаем
R=OA=AP\cos\alpha=l\cdot\frac{1}{3}=\frac{l}{3}.
Пусть боковая поверхность конуса равна S
. Тогда
S=\pi Rl=\pi\cdot\frac{1}{3}l\cdot l=\frac{\pi l^{2}}{3}.
Пусть \rho
— радиус шара описанного около конуса. Тогда \rho
— радиус окружности, описанной около треугольника APB
. По теореме синусов
\rho=\frac{BP}{2\sin\angle BAP}=\frac{l}{2\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{3l}{4\sqrt{2}}=\frac{3l\sqrt{2}}{8}.