14405. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD
с вершиной S
. На продолжении ребра CD
взята такая точка M
, что DM=2CD
(CM=3CD
). Через точки M
, B
и середину ребра SC
проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды?
Ответ. 31:29
.
Решение. Решим эту задачу для произвольной четырёхугольной пирамиды SABCD
, основание которой — параллелограмм ABCD
.
Пусть K
— середина ребра AD
, N
— середина ребра SC
, а прямая MN
пересекает ребро SD
в точке L
. Тогда сечение пирамиды указанной в условии плоскостью — четырёхугольник BKLN
.
Треугольники AKB
и DKM
подобны с коэффициентом \frac{AB}{DM}=\frac{CD}{DM}=\frac{1}{2}
, поэтому
\frac{AK}{KD}=\frac{1}{2},~AK=\frac{1}{3}AD.
Через точку D
параллельно MN
проведём прямую, пересекающую ребро SC
в точке E
. По теореме о пропорциональных отрезках \frac{EN}{NC}=\frac{DM}{MC}=\frac{2}{3}
, а так как NS=NC
, то
\frac{DL}{LS}=\frac{EN}{NS}=\frac{EN}{NC}=\frac{2}{3}~\Rightarrow~\frac{DL}{SD}=\frac{2}{5}.
Пусть объём пирамиды SABCD
равен V
, площадь основания равна S
, высота пирамиды равна h
, площадь треугольника DKM
равна s
, объём треугольной пирамиды NBCM
равен V_{1}
, площадь её основания CMB
равна S_{1}
, а объём пирамиды LDKM
равен v
.
Поскольку AK=\frac{1}{3}AD
, получаем, что
S_{\triangle AKB}=\frac{1}{6}S~\Rightarrow~S_{BCDK}=\frac{5}{6}S.
Из подобия треугольников DKM
и AKB
(с коэффициентом 2) следует, что
s=S_{\triangle DKM}=4S_{\triangle AKB}=4\cdot\frac{1}{6}S=\frac{2}{3}S.
Тогда
S_{1}=S_{BCDK}+S_{\triangle DKM}=\frac{5}{6}S+\frac{2}{3}S=\frac{3}{2}S,
а так как точка N
— середина наклонной SC
к плоскости основания пирамиды SABCD
, то высота пирамиды NBCM
, проведённая из вершины N
, равна \frac{h}{2}
(см. задачу 9180). Значит,
V_{1}=\frac{1}{3}S_{1}\cdot\frac{h}{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}S\cdot\frac{h}{2}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}Sh=\frac{3}{4}V.
Точка L
наклонной SD
к плоскости основания ABCD
такова, что \frac{DL}{SD}=\frac{2}{5}
, поэтому высота треугольной пирамиды LDKM
, проведённая из вершины L
, равна \frac{2}{5}h
. Значит,
v=\frac{1}{3}s\cdot\frac{2}{5}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}S\cdot\frac{2}{5}=\frac{1}{3}Sh\cdot\frac{4}{15}=\frac{4}{15}V.
Тогда та часть исходной пирамиды SABCD
, которая содержит точку C
, имеет объём
V_{1}-v=\frac{3}{4}V-\frac{4}{15}V=\frac{29}{60}V,
а объём оставшейся части равен \frac{31}{60}
. Следовательно, секущая плоскость разбивает исходную пирамиду на части, отношение объёмов которых равно \frac{31}{29}
.