14406. Дана правильная треугольная призма ABCA_{1}B_{1}C_{1}
с боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
. На продолжении ребра A_{1}B_{1}
взята точка M
так, что B_{1}M=\frac{1}{2}A_{1}B_{1}
(A_{1}M=\frac{3}{2}A_{1}B_{1}
). Через точку M
и середины рёбер A_{1}C_{1}
и B_{1}B
проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объём призмы?
Ответ. 49:95
.
Решение. Решим эту задачу для произвольной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
.
Пусть K
и L
— середины рёбер A_{1}C_{1}
и BB_{1}
соответственно, прямая ML
пересекает ребро AB
и продолжение ребра AA_{1}
в точках N
и P
соответственно, прямая MK
пересекает ребро B_{1}C_{1}
в точке R
, а прямая KP
пересекает ребро AC
в точке Q
. Тогда сечение призмы указанной в условии плоскостью — пятиугольник LNQKR
.
Пусть прямая, проведённая через точку B_{1}
параллельно MK
, пересекает отрезок A_{1}K
в точке D
. По теореме Фалеса \frac{DK}{A_{1}K}=\frac{MB_{1}}{MA_{1}}=\frac{1}{3}
, а так как C_{1}K=A_{1}K
, то
\frac{C_{1}R}{C_{1}B}=\frac{C_{1}K}{C_{1}D}=\frac{A_{1}K}{C_{1}D}=\frac{3}{4}.
Треугольники MLB_{1}
, NLB
и NPA
равны, поэтому
PA=LB=LB_{1}=\frac{1}{2}BB_{1}=\frac{1}{2}AA_{1}
Значит, \frac{PA}{PB_{1}}=\frac{1}{3}
, а из подобия треугольников APQ
и A_{1}PK
получаем, что
AQ=\frac{1}{3}A_{1}K=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}A_{1}C_{1}=\frac{1}{6}A_{1}C_{1}=\frac{1}{6}AC,
поэтому \frac{AQ}{AC}=\frac{1}{6}
.
Пусть объём призмы равен V
, площадь её основания равна S
, высота призмы равна h
, объёмы треугольных пирамид PKMA_{1}
, LMRB_{1}
и PANQ
равны соответственно V_{1}
, v_{1}
и v_{2}
, а площади их оснований KMA_{1}
, MRB_{1}
и ANQ
— S_{1}
, s_{1}
и s_{2}
соответственно. Тогда высоты этих трёх пирамид равны соответственно \frac{3}{2}h
, \frac{1}{2}h
и \frac{1}{2}h
соответственно (см. задачу 9180).
Выразим через S
площади основания этих пирамид.
S_{\triangle KMA_{1}}=\frac{A_{1}K}{A_{1}C_{1}}\cdot\frac{A_{1}M}{A_{1}B_{1}}S=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}S=\frac{3}{4}S,
S_{\triangle ANQ}=\frac{AN}{AB}\cdot\frac{AQ}{AC}S=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}S=\frac{1}{12}S,
(см. задачу 7244). Сторона MB_{1}
треугольника MB_{1}R
вдвое меньше стороны A_{1}B_{1}
треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, а высота первого из этих треугольников, проведённая к стороне MB_{1}
, в четыре раза меньше высоты второго, проведённой к стороне A_{1}C_{1}
, значит,
S_{\triangle MRB_{1}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}S=\frac{1}{8}S.
Тогда
V_{1}=\frac{1}{3}S_{\triangle KMA_{1}}\cdot\frac{3}{2}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}S\cdot\frac{3}{2}h=\frac{3}{8}Sh=\frac{3}{8}S,
v_{1}=\frac{1}{3}S_{\triangle MRB_{1}}\cdot\frac{1}{2}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{8}S\cdot\frac{1}{2}h=\frac{1}{48}Sh=\frac{1}{48}V,
v_{2}=\frac{1}{3}S_{\triangle ANQ}\cdot\frac{1}{2}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{12}S\cdot\frac{1}{2}h=\frac{1}{72}Sh=\frac{1}{72}S.
Значит, та часть данной призмы, которая содержит точку A
, имеет объём
V_{1}-v_{1}-v_{2}=\frac{3}{8}V-\frac{1}{48}V-\frac{1}{72}V=\frac{49}{144}V.
Следовательно, секущая плоскость разбивает данную призму на части, отношение объёмов которых равно
\frac{\frac{49}{144}V}{\frac{144-49}{144}V}=\frac{49}{95}.