14421. Найдите объём треугольной пирамиды, у которой два противоположных ребра равны 4 и 12, а остальные рёбра равны 7.
Ответ. 24.
Решение. Пусть рёбра AB
и CD
пирамиды ABCD
равны 4 и 12 соответственно, а остальные рёбра равны 7. Опустим высоту DH
пирамиды. Ортогональные проекции равных наклонных, проведённых к плоскости из одной точки, равны, поэтому AH=BH
. Тогда, точка H
равноудалена от концов отрезка AB
, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к AB
, т. е. на прямой, содержащей высоту CM
равнобедренного треугольника ABC
. Причём
CM=DM=\sqrt{DA^{2}-AM^{2}}=\sqrt{49-4}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.
Обозначим CH=x
. По теореме Пифагора
DC^{2}-CH^{2}=DM^{2}-MH^{2},
или
144-x^{2}=45-(3\sqrt{5}-x)^{2},
откуда x=\frac{24}{\sqrt{5}}
. Тогда
DH=\sqrt{DC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{12^{2}-x^{2}}=\sqrt{12^{2}-\frac{24^{2}}{5}}=12\sqrt{1-\frac{4}{5}}=\frac{12}{\sqrt{5}}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DH=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot4\cdot3\sqrt{5}\cdot\frac{12}{\sqrt{5}}=24.