14423. Через вершину правильной треугольной пирамиды и середины двух сторон основания проведено сечение. Найдите площадь сечения и объём пирамиды, если сторона основания равна a
, а угол между плоскостями сечения и основания пирамиды равен \alpha
.
Ответ. \frac{a^{2}\sqrt{3}}{48\cos\alpha}
, \frac{a^{3}\tg\alpha}{48}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон соответственно AB
и AC
основания ABC
данной правильной треугольной пирамиды ABCD
, DH
— высота пирамиды, K
— точка пересечения средней линии MN
равностороннего треугольника ABC
с отрезком AH
. Тогда
MN=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2},~KH=AH-AK=\frac{a\sqrt{3}}{3}-\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{a\sqrt{3}}{12}.
Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что DKH
— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями DMN
и ABC
, поэтому \angle DKH=\alpha
. Из прямоугольного треугольника DHK
находим, что
DK=\frac{KH}{\cos\alpha}=\frac{a\sqrt{3}}{12\cos\alpha},~DH=KH\tg\alpha=\frac{a\sqrt{3}\tg\alpha}{12}.
Следовательно,
S_{\triangle DMN}=\frac{1}{2}MN\cdot DK=\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{12\cos\alpha}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{48\cos\alpha},
V=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DH=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}\tg\alpha}{12}=\frac{a^{3}\tg\alpha}{48}.