14435. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с острым угол \alpha
. Этот треугольник вписан в основание конуса. Вершина пирамиды совпадает с серединой одной из образующих конуса. Найдите отношение объёма конуса к объёму пирамиды.
Ответ. \frac{2\pi}{\sin2\alpha}
.
Решение. Обозначим через V_{1}
и V_{2}
— объёмы пирамиды и конуса. Пусть радиус основания конуса равен R
. Прямоугольный треугольник с острым углом \alpha
вписан в эту окружность, поэтому гипотенуза треугольника является диаметром окружности. Значит, катеты равны 2R\sin\alpha
и 2R\cos\alpha
. Площадь треугольника равна половине произведения катетов, т. е.
S_{1}=\frac{1}{2}\cdot2R\sin\alpha\cdot2R\cdot\alpha=2R^{2}\sin\alpha\cos\alpha=R^{2}\sin2\alpha.
Пусть h
— высота конуса. Из теоремы о средней линии треугольника следует, что высота пирамиды вдвое меньше высоты конуса, т. е. равна \frac{h}{2}
. Площадь S_{2}
основания конуса равна \pi R^{2}
. Тогда объёмы конуса и пирамиды равны
V_{2}=\frac{1}{3}S_{2}h=\frac{1}{3}\pi R^{2}h,~V_{1}=\frac{1}{3}R^{2}\sin2\alpha\cdot\frac{h}{2}.
Следовательно,
\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{\frac{1}{3}\pi R^{2}h}{\frac{1}{3}R^{2}\sin2\alpha\cdot\frac{h}{2}}=\frac{2\pi}{\sin2\alpha}.