14438. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания, если боковая поверхность конуса равна сумме площадей основания и осевого сечения
Ответ. 2\arcctg\pi
.
Решение. Пусть искомый угол равен \alpha
, радиус основания конуса с вершиной S
равен r
, высота SO
равна h
, образующая равна l
. Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник ASB
, центр O
окружности основания — середина отрезка AB
, а \angle OAS=\alpha
.
Из прямоугольного треугольника AOS
получаем
h=SO=OA\tg\angle OAS=r\tg\alpha,~l=\frac{OA}{\cos\angle OAS}=\frac{r}{\cos\alpha}.
Пусть S
, S_{1}
и S_{2}
— боковая поверхность конуса, площадь основания и площадь осевого сечения конуса соответственно. Тогда
S=\pi rl=\frac{\pi r^{2}}{\cos\alpha},~S_{1}=\pi r^{2},~S_{2}=\frac{1}{2}AB\cdot SO=OA\cdot SO=rh=r^{2}\tg\alpha.
По условию S=S_{1}+S_{2}
, или
\frac{\pi r^{2}}{\cos\alpha}=\pi r^{2}+r\tg\alpha.
После очевидных упрощений, получим уравнение
\pi(1-\cos\alpha)=\cos\alpha,~\mbox{или}~2\pi\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2},
а так как \sin\frac{\alpha}{2}\ne0
, то \ctg\frac{\alpha}{2}=\pi
. Следовательно, \alpha=2\arcctg\pi
.