14447. Основание прямой призмы, описанной около шара радиуса r
, — прямоугольный треугольник с острым углом \alpha
. Найдите объём призмы.
Ответ. 2r^{3}\ctg\frac{\alpha}{2}\ctg\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)
.
Решение. Пусть основания данной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
— прямоугольные треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
с прямыми углами при вершинах C
и C_{1}
, \angle BAC=\alpha
, а O
— центр шара радиуса r
, вписанного в призму.
Ортогональная проекция призмы и шара на плоскость ABC
— прямоугольный треугольник ABC
, в который вписан круг радиуса r
с центром I
. Пусть P
и Q
— точки касания круга с катетами AC
и BC
соответственно. Тогда CPIQ
— квадрат со сторонами CP=CQ=IP=IQ=r
, а AI
и BI
— биссектрисы углов A
и B
, поэтому
AC=AP+PC=IP\ctg\frac{\alpha}{2}+CP=r\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+1\right),
BC=BQ+CQ=IQ\ctg\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)+CQ=r\left(\ctg\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)+1\right).
Тогда
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}r^{2}\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+1\right)\left(\ctg\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)+1\right)=
=\frac{1}{2}r^{2}\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+1\right)\left(\frac{\ctg\frac{\alpha}{2}+1}{\ctg\frac{\alpha}{2}-1}+1\right)=\frac{1}{2}r^{2}\frac{\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+1\right)\cdot2\ctg\frac{\alpha}{2}}{\ctg\frac{\alpha}{2}-1}=
=r^{2}\ctg\frac{\alpha}{2}\ctg\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right).
Пусть V
— объём призмы. Высота призмы равна диаметру шара, т. е. 2r
. Следовательно,
V=S_{\triangle ABC}\cdot2r=2r^{3}\ctg\frac{\alpha}{2}\ctg\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right).