14455. Два конуса имеют общую высоту; их вершины лежат на противоположных концах этой высоты. Образующая одного конуса равна l
и составляет с высотой угол \alpha
. Образующая другого конуса составляет с высотой угол \beta
. Найдите объём общей части этих конусов.
Ответ. \frac{\pi l^{3}\sin^{2}2\alpha\cos\alpha\sin^{2}\beta}{12\sin^{2}(\alpha+\beta)}
.
Решение. Пусть S
— вершина конуса с высотой SH
, образующей l
и углом \alpha
между высотой и образующей, H
— вершина конуса с высотой HS
и углом \beta
между высотой и образующей. Пусть равнобедренный треугольник SAB
— осевое сечение первого конуса, а равнобедренный треугольник HCD
— осевое сечение второго конуса той же плоскостью (см. рис.), M
— точка пересечения образующих SA
и HD
, M
— точка пересечения образующих SB
и HC
, K
— точка пересечения отрезка MN
с общей высотой SH
конусов. Обозначим HA=HB=r
, SC=SD=R
, KM=KN=\rho
. Общая часть конусов — это объединение двух конусов, общее основание которых есть круг радиуса \rho
, а высоты — отрезки SK
и HK
.
Из прямоугольных треугольников SAH
и HSD
получаем
SH=SA\cos\angle ASH=l\cos\alpha,~r=AH=SA\sin\angle ASH=l\sin\alpha,
R=SC=SH\tg\angle CHS=l\cos\alpha\tg\beta.
Треугольник SMC
подобен треугольнику BMH
с коэффициентом
k=\frac{SM}{MB}=\frac{SC}{HB}=\frac{R}{r}=\frac{l\cos\alpha\tg\beta}{l\sin\alpha}=\frac{\tg\beta}{\tg\alpha}.
Треугольник SKM
подобен треугольнику SHB
с коэффициентом
k_{1}=\frac{SM}{SB}=\frac{\tg\beta}{\tg\beta+\tg\alpha}.
Значит,
\rho=KM=k_{1}BH=k_{1}r=\frac{r\tg\beta}{\tg\beta+\tg\alpha}=\frac{l\sin\alpha\tg\beta}{\tg\beta+\tg\alpha}.
Пусть V
— искомый объём общей части данных конусов; V_{1}
— объём конуса, основание которого — круг радиуса \rho
, а высота — отрезок SK
; V_{2}
— объём конуса, основание которого — круг радиуса r
, а высота — отрезок HK
. Тогда
V=V_{1}+V_{2}=\frac{1}{3}\pi\rho^{2}SK+\frac{1}{3}\pi\rho^{2}HK=\frac{1}{3}\pi\rho^{2}(SK+HK)=
=\frac{1}{3}\pi\rho^{2}SH=\frac{1}{3}\pi\cdot\left(\frac{l\sin\alpha\tg\beta}{\tg\beta+\tg\alpha}\right)^{2}\cdot l\cos\alpha=\frac{\pi l^{3}\sin^{2}2\alpha\cos\alpha\sin^{2}\beta}{12\sin^{2}(\alpha+\beta)}.