14460. Основание пирамиды — равнобедренная трапеция с основаниями a
и b
(a\gt2b
) и углом \varphi
между неравными отрезками её диагоналей. Ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания — точка пересечения диагоналей основания. Углы, которые образуют с плоскостью основания боковые грани, проходящие через основания трапеции, относятся как 1:2
. Найдите объём пирамиды.
Ответ. \frac{1}{24}(a+b)^{2}\sqrt{a(a-2b)}\tg^{2}\frac{\varphi}{2}
.
Решение. Пусть равнобедренная трапеция ABCD
с основаниями AD=a
и BC=b
— основание пирамиды SABCD
, O
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
трапеции, \angle AOB=\varphi
, SO
— высота пирамиды.
Пусть M
и N
— середины AD
и BC
соответственно. Поскольку трапеция равнобедренная, отрезок MN
— высота трапеции, а точка O
лежит на отрезке MN
. В равнобедренном треугольнике AOD
с углом \frac{\varphi}{2}
при основании отрезок OM
— высота, поэтому
OM=AM\tg\angle OAM=\frac{a}{2}\tg\frac{\varphi}{2}.
Аналогично, ON=\frac{b}{2}\tg\frac{\varphi}{2}
. Значит,
MN=OM+ON=\frac{a+b}{2}\tg\frac{\varphi}{2}.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot MN=\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a+b}{2}\tg\frac{\varphi}{2}=\frac{1}{4}(a+b)^{2}\tg\frac{\varphi}{2}.
Плоскость MSN
перпендикулярна параллельными прямым AD
и BC
, поэтому SMN
и SNM
— линейные углы двугранных углов пирамиды при рёбрах AD
и BC
соответственно. Поскольку MO\gt NO
, острый угол при вершине M
прямоугольного треугольника SOM
больше острого угла при вершине N
прямоугольного треугольника SON
. Обозначим \angle ONS=\alpha
. Тогда по условию задачи \angle OMS=2\alpha
. Значит,
SO=OM\tg\alpha,~SO=ON\tg2\alpha=\frac{2ON\tg\alpha}{1-\tg^{2}\alpha}.
Из равенства
OM\tg\alpha=\frac{2ON\tg\alpha}{1-\tg^{2}\alpha}
находим, что
1-\tg^{2}\alpha=2\cdot\frac{ON}{OM}=\frac{2b}{a},
откуда \tg\alpha=\sqrt{\frac{a-2b}{a}}
(заметим, что по условию задачи a-2b\gt0
). Тогда
SO=OM\tg\alpha=\frac{a}{2}\tg\frac{\varphi}{2}\cdot\sqrt{\frac{a-2b}{a}}=\frac{1}{2}\tg\frac{\varphi}{2}\sqrt{a(a-2b)}.
Следовательно,
V_{SABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}(a+b)^{2}\tg\frac{\varphi}{2}\cdot\frac{1}{2}\tg\frac{\varphi}{2}\sqrt{a(a-2b)}=
=\frac{1}{24}(a+b)^{2}\sqrt{a(a-2b)}\tg^{2}\frac{\varphi}{2}.