14467. Отрезок прямой, соединяющий точку верхнего основания цилиндра с точкой нижнего основания, равен l
и образует с плоскостью основания цилиндра угол \alpha
. Найдите расстояние от этой прямой до оси цилиндра, если осевое сечение цилиндра есть квадрат.
Ответ. \frac{l}{2}\sqrt{-\cos2\alpha}
.
Решение. Пусть точки A
и B
лежат на окружностях с центрами O
и O'
соответственно верхнего и нижнего оснований цилиндра, AA'=h
— образующая цилиндра, R
— радиус основания цилиндра.
Из прямоугольного треугольника AA'B
получаем
h=AA'=AB\sin\angle ABA'=l\sin\alpha,
A'B=AB\cos\angle ABA'=l\cos\alpha.
Пусть M
— середина хорды A'B
нижнего основания цилиндра. Поскольку треугольник A'O'B
равнобедренный, то O'M\perp A'B
, а так как AA'
— перпендикуляр к плоскости нижнего основания, то O'M\perp AA'
. Значит, O'M
— перпендикуляр к плоскости AA'B
, параллельной прямой OO'
. Следовательно, искомое расстояние d
между прямыми AB
и OO'
равно длине отрезка O'M
(см. задачу 7889).
Из прямоугольного треугольника BMO'
, учитывая, что осевое сечение цилиндра есть квадрат, т. е. h=2R
, находим, что
d=O'M=\sqrt{O'B^{2}-BM^{2}}=\sqrt{R^{2}-\frac{1}{4}A'B^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}h^{2}-\frac{1}{4}l^{2}\cos^{2}\alpha}=
=\sqrt{\frac{1}{4}l^{2}\sin^{2}\alpha-\frac{1}{4}l^{2}\cos^{2}\alpha}=\frac{l}{2}\sqrt{\sin^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha}=\frac{l}{2}\sqrt{-\cos2\alpha}.
Примечание. Поскольку осевое сечения цилиндра — квадрат, то \alpha\geqslant45^{\circ}
, поэтому \cos2\alpha\leqslant0
.