14509. Докажите, что объём V
тетраэдра ABCD
можно вычислить по формуле
V=\frac{1}{6}AB\cdot AC\cdot AD\sin\beta\sin\gamma\sin\varphi,
где \beta
и \gamma
— плоские углы при вершине A
, противолежащие сторонам BD
и CD
, а \varphi
— двугранный угол при ребре AD
.
Решение. Пусть \angle BAD=\beta
, \angle CAD=\gamma
, BK
— высота треугольника ABD
, а BH
— высота тетраэдра. Тогда BK=AB\sin\beta
. По теореме о трёх перпендикулярах HK\perp AD
, поэтому \angle BKH=\varphi
. Значит,
BH=BK\sin\varphi=AB\sin\beta\sin\varphi,
а так как
S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot AD\sin\gamma,
то
V=\frac{1}{3}S_{\triangle ACD}\cdot BH=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AC\cdot AD\sin\gamma\cdot AB\sin\beta\sin\varphi=
\frac{1}{6}AB\cdot AC\cdot AD\sin\beta\sin\gamma\sin\varphi.
Что и требовалось доказать.