14514. Докажите, что плоскость, пересекающая лишь боковую поверхность цилиндра, делит его объём в том же отношении, в котором она делит ось цилиндра.
Решение. Пусть указанная в условии плоскость \Pi
пересекает ось цилиндра в точке O
. Проведём через точку O
плоскость \Pi'
, параллельную основаниям цилиндра. Она разбивает цилиндр на два цилиндра. Отношение их объёмов равно отношению высот, т. е. отношению отрезков, на которые точка O
делит ось исходного цилиндра. Плоскости \Pi
и \Pi'
разбивают цилиндр на четыре части, причём части, заключённые между плоскостями \Pi
и \Pi'
равновелики (они симметричны относительно прямой пересечения плоскостей \Pi
и \Pi'
). Значит, части, на которые разбивает цилиндр плоскость \Pi
, равновелики частям, на которые разбивает цилиндр плоскость \Pi'
. Отсюда следует утверждение задачи.