14521. Дан куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром a
. Найдите:
а) расстояние от середины ребра AA_{1}
до прямой BD_{1}
;
б) расстояние от середины ребра BC
до плоскости DA_{1}C_{1}
;
в) косинус угла между плоскостями ABC
и DA_{1}C_{1}
;
г) тангенс угла между прямой BC_{1}
и плоскостью DA_{1}C_{1}
.
Ответ. а) \frac{a\sqrt{2}}{2}
; б) \frac{a\sqrt{3}}{2}
; в) \frac{\sqrt{3}}{3}
; г) \sqrt{2}
.
Решение. а) Пусть M
— середина ребра AA_{1}
. Треугольник BMD_{1}
равнобедренный с боковыми сторонами
D_{1}M=BM=\sqrt{AB^{2}+AM^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.
Его высота MP
является медианой. Следовательно, из прямоугольного треугольника BPM
находим, что
MP=\sqrt{BM^{2}-BP^{2}}=\sqrt{\frac{5a^{2}}{4}-\frac{3a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.
б) Пусть N
— середина ребра BC
, а прямая, проведённая через N
параллельно AC
, пересекает отрезки BD
и AB
в точках E
и F
соответственно. Тогда расстояние d
от точки N
до плоскости DA_{1}C_{1}
равно расстоянию до этой плоскости от точки E
. Отрезок NF
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому \frac{BE}{BD}=\frac{1}{4}
. Значит, расстояние от точки E
до плоскости DA_{1}C_{1}
составляет \frac{3}{4}
расстояния до этой плоскости от точки B
(см. задачу 9180).
Известно (см. задачи 7212 и 7300), что в любом параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
отрезок BD_{1}
проходит через точку G
пересечения медиан треугольника A_{1}DC_{1}
и делится этой точкой в отношении 2:1
, считая от точки B
, а если это куб, то прямая BD_{1}
перпендикулярна плоскости A_{1}DC_{1}
. Следовательно,
d=\frac{3}{4}BG=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}a\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
в) Плоскость ABC
параллельна плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
, поэтому искомый угол \alpha
равен углу между плоскостями A_{1}B_{1}C_{1}
и DA_{1}C_{1}
, т. е. углу DO_{1}D_{1}
, где O_{1}
— центр грани A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Из прямоугольного треугольника O_{1}DD_{1}
находим, что
\tg\alpha=\tg\angle DO_{1}D_{1}=\frac{DD_{1}}{O_{1}D_{1}}=\frac{a}{\frac{a}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}.
Следовательно,
\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
г) Пусть угол между прямой BC_{1}
и плоскостью DA_{1}C_{1}
равен \beta
. Тогда BG
— перпендикуляр к плоскости DA_{1}C_{1}
, а GC_{1}
— ортогональная проекция наклонной BC_{1}
на эту плоскость. Поскольку
BG=\frac{2}{3}BD_{1}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}~\mbox{и}~GC_{1}=\frac{a\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{3}=\frac{a\sqrt{6}}{3},
то
\tg\beta=\frac{BG}{GC_{1}}=\frac{\frac{2a\sqrt{3}}{3}}{\frac{a\sqrt{6}}{3}}=\sqrt{2}.