14523. Дана правильная треугольная призма ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, все рёбра которой равны 1. Найдите:
а) расстояние от середины ребра A_{1}C_{1}
до прямой BA_{1}
;
б) расстояние от точки C
до плоскости, проходящей через точки B
, A_{1}
и C_{1}
;
в) тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания призмы;
г) синус угла между прямой BA_{1}
и плоскостью BCC_{1}
.
Ответ. а) \frac{\sqrt{14}}{8}
; б) \sqrt{\frac{3}{7}}
; в) \frac{2}{\sqrt{3}}
; г) \frac{\sqrt{6}}{4}
.
Решение. а) Пусть M
и D
— середины рёбер A_{1}C_{1}
и AC
соответственно, MH
— высота прямоугольного треугольника BMA_{1}
, проведённая из вершины прямого угла. Искомое расстояние от точки M
до прямой BA_{1}
равно этой высоте. По теореме Пифагора
BM=\sqrt{DM^{2}+BD^{2}}=\sqrt{1+\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}.
Следовательно (см. примечание к задаче 1967),
MH=\frac{MA_{1}\cdot BM}{BA_{1}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{7}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{14}}{8}.
б) Точка C
лежит на прямой AC
, параллельной плоскости BA_{1}C_{1}
, поэтому расстояние d
от точки C
до этой плоскости равно расстоянию от точки D
до плоскости BA_{1}C_{1}
, т. е. высоте DP
прямоугольного треугольника BDM
, проведённой из вершины прямого угла. Следовательно,
d=DP=\frac{DM\cdot BD}{BM}=\frac{1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}=\sqrt{\frac{3}{7}}.
в) Пусть двугранный угол, образованный плоскостями A_{1}BC_{1}
и A_{1}B_{1}C_{1}
, равен \alpha
. Поскольку BM\perp A_{1}C_{1}
и B_{1}M\perp A_{1}C_{1}
, то \alpha=\angle BMB_{1}
— линейный угол этого двугранного угла. Из прямоугольного треугольника BB_{1}M
находим, что
\tg\alpha=\tg\angle BMB_{1}=\frac{BB_{1}}{B_{1}M}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
г) Пусть K
— середина ребра B_{1}C_{1}
. Прямая A_{1}K
перпендикулярна пересекающимся прямым B_{1}C_{1}
и BB_{1}
плоскости BCC_{1}
, поэтому A_{1}K
— перпендикуляр к этой плоскости, а угол \beta
наклонной A_{1}B
с плоскостью BCC_{1}
— это острый угол при вершине B
прямоугольного треугольника BKA_{1}
. Значит,
\sin\beta=\sin\angle BKA_{1}=\frac{A_{1}K}{BA_{1}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}.