14524. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD
с основанием ABCD
, все рёбра которой равны a
. Найдите:
а) расстояние от середины ребра SC
до плоскости BSD
;
б) расстояние от точки B
до плоскости, проходящей через точки A
, C
и середину ребра SD
;
в) синус угла между прямой, проходящей через точку B
и середину ребра SC
, и плоскостью ASC
;
г) угол между плоскостями ASD
и BSC
.
Ответ. а) \frac{a\sqrt{2}}{4}
; б) \frac{a}{2}
; в) \sqrt{\frac{2}{3}}
; г) 90^{\circ}
.
Решение. а) Пусть M
— середина ребра SC
. Отметим середину P
высоты SH
пирамиды. Отрезок MP
— средняя линия прямоугольного треугольника SHC
, поэтому MP\parallel CH
. Прямая CH
перпендикулярна пересекающимся прямым BD
и SH
плоскости BSD
, поэтому CH
— перпендикуляр к этой плоскости, а так как MP\parallel CH
, то MP
— тоже перпендикуляр к плоскости BSD
. Следовательно, расстояние d
от точки M
до плоскости BSD
равно длине отрезка MP
, т. е.
d=MP=\frac{1}{2}CH=\frac{1}{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{4}.
б) Пусть N
— середина ребра SD
. Наклонная BD
к плоскости ANC
делится плоскостью ANC
пополам (так как H
— середина отрезка BD
), поэтому точки B
и D
равноудалены от плоскости ANC
. Прямая SD
перпендикулярна пересекающимся прямым AN
и CN
плоскости ANC
(так как AN
и CN
— высоты правильных треугольников ASD
и CSD
), следовательно, расстояние от точки D
, а значит, и от точки B
, до плоскости ANC
равно \frac{1}{2}SD=\frac{a}{2}
.
в) Прямая BH
перпендикулярна плоскости ASC
, так как она перпендикулярна пересекающимся прямым AC
и SH
этой плоскости, поэтому HM
— ортогональная проекция наклонной BM
к плоскости ASC
. Значит, угол \varphi
прямой BM
с плоскостью ASC
— это угол BMH
. Из прямоугольного треугольника BHM
находим, что
\sin\varphi=\sin\angle BMH=\frac{BH}{BM}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}.
г) Плоскости ASD
и BSC
проходят через параллельные прямые AD
и BC
соответственно и имеют общую точку S
, значит, они пересекаются по прямой, проходящей через точку S
параллельно прямым AD
и BC
(см. задачу 8004). Следовательно, линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ASD
и BSC
, — это угол \gamma
между высотами SK
и SL
боковых граней ASD
и BSC
пирамиды (т. е. угол между апофемами пирамиды, лежащими в этих гранях). По теореме косинусов находим, что
\gamma=\angle KSL=\frac{SK^{2}+SL^{2}-KL^{2}}{2SK\cdot SL}=\frac{\frac{3}{4}a^{2}+\frac{3}{4}a^{2}-a^{2}}{2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3}.
Следовательно, \gamma=\arccos\frac{1}{3}
.