14567. Все плоские углы некоторого трёхгранного угла тупые. Докажите, что все его двугранные углы тоже тупые.
Указание. См. задачу 7438.
Решение. Пусть \alpha
, \beta
, \gamma
— плоские углы трёхгранного угла SABC
с вершиной S
, противолежащие рёбрам SA
, SB
, SC
соответственно; A
, B
, C
— двугранные углы при этих рёбрах. Тогда (см. задачу 7438)
\cos A=\frac{\cos\alpha-\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma},~\cos B=\frac{\cos\beta-\cos\alpha\cos\gamma}{\sin\alpha\sin\gamma},~\cos C=\frac{\cos\gamma-\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}.
Тогда, если все плоские углы тупые, их косинусы отрицательны, и из полученных формул следует, что отрицательны и косинусы всех двугранных углов. Поэтому все двугранные углы тупые.