1457. Рассмотрим четыре сегмента, отсекаемых от окружности вписанным в неё четырёхугольником и расположенных вне этого четырёхугольника. Найдите сумму углов, вписанных в эти сегменты.
Ответ. 540^{\circ}
.
Решение. Пусть точки K
, L
, M
и N
расположены соответственно на дугах указанных сегментов, образованных сторонами AB
, BC
, CD
и DA
вписанного четырёхугольника ABCD
. Тогда сумма углов AKB
, BLC
, CMD
и AND
равна полусумме утроенных дуг ACB
, BAC
, CBD
и ACD
, т. е.
\frac{3\cdot360^{\circ}}{2}=540^{\circ}.