14576. Пусть A
— вершина шарового сегмента (точка, наиболее удалённая от плоскости основания сегмента), B
— точка окружности его основания. Докажите, что площадь сферической поверхности этого сегмента равна площади круга радиуса AB
.
Решение. Пусть O
— центр шара, R
— его радиус, M
— центр основания сегмента, AM=h
— высота сегмента. Из прямоугольных треугольников AMB
и OMB
получаем
AB^{2}-AM^{2}=BM^{2}=OB^{2}-OM^{2},
откуда
AB^{2}=AM^{2}+OB^{2}-OM^{2}=h^{2}+R^{2}-(R-h)^{2}=2Rh.
Пусть S
— площадь круга радиуса AB
, а S_{1}
— площадь сферической поверхности сегмента Тогда
S_{1}=2\pi Rh=\pi AB^{2}=S.
Что и требовалось доказать.