14578. Внутри правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
с основанием ABCD
расположена правильная четырёхугольная призма KLMNK_{1}L_{1}M_{1}N_{1}
, основание KLMN
которой лежит в плоскости ABC
. Центр основания KLMN
призмы расположен на отрезке AC
, KL\parallel AC
, KN\parallel BD
(точки K
и B
лежат по одну сторону от AC
), сторона основания призмы равна 2, боковое ребро KK_{1}
призмы равно 1. Вершины L_{1}
и M_{1}
верхнего основания призмы KLMNK_{1}L_{1}M_{1}N_{1}
принадлежат боковым граням SBC
и SCD
пирамиды SABCD
соответственно. Плоскость \gamma
проходит через точки B
, K_{1}
и N_{1}
. Найдите объёмы частей, на которые делит пирамиду SABCD
плоскость \gamma
, если сторона пирамиды равна 8\sqrt{2}
, а её высота равна 4.
Ответ. \frac{512}{15}
, \frac{2048}{15}
.
Решение. Плоскость \gamma
проходит через прямую K_{1}N_{1}
, параллельную плоскости ABC
и имеет с плоскостью ABC
общую точку B
, значит, плоскости \gamma
и ABC
пересекаются по прямой, проходящей через точку B
параллельно K_{1}N_{1}
(см. задачу 8003), т. е. по прямой BD
.
Пусть плоскость верхнего основания призмы пересекает боковые рёбра SA
, SB
, SC
и SD
пирамиды в точках P
, Q
, R
и T
соответственно, диагональ PR
квадрата PQRT
пересекает ребро M_{1}N_{1}
призмы в точке E
, прямая OE
пересекает ребро SC
пирамиды в точке H
, лежащей в плоскости \gamma
, а HU
— перпендикуляр к AC
. Тогда HU
— высота треугольной пирамиды HBCD
, OH\perp BD
, а из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что OU\perp BD
. Значит, HOU
— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями \gamma
и ABC
. По условию \tg HOU=\frac{1}{3}
, поэтому OU=3HU
.
Из подобия прямоугольных треугольников HCU
и SCO
получаем
\frac{HU}{SO}=\frac{CU}{CO}~\Rightarrow~\frac{HU}{4}=\frac{CU}{8}=\frac{CO-OU}{8}=\frac{8-3HU}{8}.
Из уравнения \frac{HU}{4}=\frac{8-3HU}{8}
находим, что HU=\frac{8}{5}
. Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot(8\sqrt{2})^{2}\cdot4=\frac{512}{3},
V_{HBCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle BCD}\cdot HU=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}(8\sqrt{2})^{2}\cdot\frac{5}{8}=\frac{512}{15},
V_{ABCD}-V_{HBCD}=\frac{512}{3}-\frac{512}{15}=\frac{2048}{15}.