14581. Найдите объёмы частей, на которые делит правильную треугольную призму плоскость, параллельная диагонали AC_{1}
боковой грани AA_{1}C_{1}C
, проходящая через вершину C
и центр симметрии боковой грани AA_{1}B_{1}B
, если площадь сечения призмы этой плоскостью равна \frac{7\sqrt{3}}{4}
, а сторона основания призмы равна \sqrt{\frac{14}{3}}
Ответ. \frac{49\sqrt{3}}{54}
, \frac{77\sqrt{3}}{54}
.
Решение. Пусть сторона основания призмы равна a
(a=\sqrt{\frac{14}{3}}
), высота призмы равна h
, а O
— центр грани AA_{1}B_{1}B
. Плоскость AB_{1}C_{1}
проходит через прямую AC_{1}
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку O
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку O
параллельно AC_{1}
(см. задачу 8003), т. е. по средней линии OM
треугольника AB_{1}C_{1}
.
Пусть P
— точка пересечения прямых CM
и BB_{1}
, K
и N
— точки пересечения прямой PO
с рёбрами A_{1}B_{1}
и AB
соответственно. Тогда сечение призмы, о котором говорится в условии, — трапеция CMKN
с основаниями CN
и KM
. При этом M
— середина ребра B_{1}C_{1}
, поэтому KM
— средняя линия треугольника CPN
, а B_{1}M
и B_{1}K
— средние линии треугольников BPC
и BPN
соответственно. Значит,
BP=2BB_{1}=2h,~BN=2B_{1}K=2AN,~\frac{BN}{AN}=2,~
S_{\triangle CPN}=\frac{4}{3}S_{CNKM}=\frac{4}{3}\cdot\frac{7\sqrt{3}}{4}=\frac{7}{\sqrt{3}},
S_{\triangle BCN}=\frac{2}{3}S_{\triangle ABC}=\frac{2}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{6}=\frac{\frac{14}{3}\sqrt{3}}{6}=\frac{7\sqrt{3}}{9}.
Пусть PQ
— высота треугольника CPN
. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах BQ
— высота треугольника BCN
, а BQP
— линейный угол двугранного угла, образованного секущей плоскостью с плоскостью основания ABC
. Обозначим \angle PQB=\alpha
. Тогда (см. задачу 8093)
\cos\alpha=\frac{S_{\triangle BCN}}{S_{\triangle CPN}}=\frac{\frac{7\sqrt{3}}{9}}{\frac{7}{\sqrt{3}}}=\frac{1}{3},~\tg\alpha=\sqrt{\frac{1}{\cos^{2}\alpha}-1}=2\sqrt{2}.
По теореме косинусов
CN=\sqrt{AC^{2}+AN^{2}-2AC\cdot AN\cos60^{\circ}}=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{9}-\frac{a^{2}}{3}}=\frac{a\sqrt{7}}{3}.
Тогда
BQ=\frac{2S_{\triangle CBN}}{CN}=\frac{\frac{a^{2}\sqrt{3}}{3}}{\frac{a\sqrt{7}}{3}}=a\sqrt{\frac{3}{7}},
h=\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}BQ\tg\alpha=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{\frac{3}{7}}\cdot2\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{6}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{14}\cdot\sqrt{6}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{7}}=2.
Пусть V
— объём призмы, V_{1}
— объём части призмы, отсекаемой секущей плоскостью и содержащей точку A
, V_{2}
— объём оставшейся части призмы. Тогда
V=S_{\triangle ABC}\cdot h=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot2=\frac{\frac{14}{3}\sqrt{3}}{4}\cdot2=\frac{7\sqrt{3}}{3},
V_{1}=V_{NBCP}-V_{KB_{1}MP}=V_{NBCP}-\frac{1}{8}V_{BCNP}=
=\frac{7}{8}V_{BCNP}=\frac{7}{8}\cdot\frac{1}{3}S_{\triangle BCN}\cdot2h=\frac{7}{8}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{7\sqrt{3}}{9}\cdot4=\frac{49\sqrt{3}}{54},
V_{2}=V-V_{1}=\frac{7\sqrt{3}}{3}-\frac{49\sqrt{3}}{54}=\frac{77\sqrt{3}}{54}.