14591. Существует ли равногранный тетраэдр, противоположные пары рёбер которого равны равны 8, 10 и 13?
Ответ. Нет, не существует.
Указание. См. задачу 8241.
Решение. Боковые грани данного тетраэдра — равные треугольники со сторонами 8, 10 и 13. Поскольку
13^{2}=169\gt164=64+100=8^{2}+10^{2},
треугольник с такими сторонами — тупоугольный (см. задачу 4004), а так как все грани равногранного тетраэдра — равные остроугольные треугольники (см. задачу 8241), то тетраэдр с такими рёбрами не существует.