14594. Докажите, что в ортоцентрическом тетраэдре одна из граней — остроугольный треугольник.
Решение. Пусть ABCD
— ортоцентрический тетраэдр. Если все углы грани ABD
острые, то утверждение верно. Пусть один из углов этого треугольника, например BAD
не меньше 90^{\circ}
. Тогда углы BAD
и ADB
острые. Значит (см. задачу 7340), все плоские углы при вершинах D
и B
острые. В частности, углы CBD
и BDC
. По той же задаче все плоские углы при вершине A
не меньше 90^{\circ}
, в частности, таков угол BAC
. Тогда ACB
острый. Значит, и угол BCD
острый. Следовательно, треугольник BCD
остроугольный. Что и требовалось доказать.