14605. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны a
. Высота пирамиды совпадает с диаметром сферы. Найдите длину кривой пересечения поверхности пирамиды и сферы.
Ответ. \frac{4}{9}\pi a\sqrt{3}
.
Решение. Пусть SH
— высота данной правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
с вершиной S
, O
— центр сферы с диаметром SH
(т. е. середина отрезка SH
), M
— точка пересечения сферы с ребром SA
. Тогда \angle SMH=90^{\circ}
, т. е. HM
— высота прямоугольного треугольника AHS
. Поскольку SH=AH=\frac{a}{\sqrt{2}}
, этот треугольник равнобедренный, поэтому M
— середина ребра SA
. Аналогично, точка N
пересечения сферы с боковым ребром SB
— середина ребра SB
.
Опустим перпендикуляр OO_{1}
на плоскость ASB
. Тогда O_{1}
— центр окружности пересечения сферы с этой плоскостью. Эта окружность описана около равностороннего треугольника MSN
со стороной \frac{a}{2}
. Тогда её радиус равен \frac{a}{2\sqrt{3}}
(см. задачу 1963), а так как центральный угол MO_{1}N
равен 120^{\circ}
, то длина l
заключённой внутри треугольника MSN
дуги этой окружности равна трети длины окружности, т. е.
l=\frac{1}{3}\cdot2\pi\cdot\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{\pi a\sqrt{3}}{9}.
Аналогично для трёх остальных боковых граней пирамиды. Следовательно, искомая длина равна 4l
, т. е. \frac{4}{9}\pi a\sqrt{3}
.