14610. Объём шарового сегмента равен V
. Цилиндр с тем же основанием и той же высотой имеет объём Q
. Найдите высоту сегмента.
Ответ. \sqrt[{3}]{{\frac{6V-3Q}{\pi}}}
.
Решение. Пусть основание цилиндра совпадает с основанием шарового сегмента, R
, r
и h
— радиус шара, радиус основания цилиндра и высота цилиндра соответственно, а O
и O_{1}
— центры шара и окружности основания цилиндра. Тогда по условию
\syst{\pi h^{2}\left(R-\frac{1}{3}h\right)=V\\\pi r^{2}h=Q.\\}
Рассмотрим сечение шара и цилиндра плоскостью, проведённой через центр шара. Пусть P
— точка на окружности основания цилиндра. Из прямоугольного треугольника с катетами O_{1}P=r
, OO_{1}=|R-h|
и гипотенузой OP=R
получаем
r^{2}+(R-h)^{2}=R^{2},
откуда r^{2}=2Rh-h^{2}
. Тогда полученную выше систему можно переписать в виде
\syst{3\pi Rh^{2}-\pi h^{3}=V\\2\pi Rh^{2}-\pi h^{3}=Q.\\}
Вычитая из первого уравнения второе, получим \pi R^{2}h=3V-Q
. Подставив найденное значение \pi R^{2}h
в любой из двух уравнений, найдём, что \sqrt[{3}]{{\frac{6V-3Q}{\pi}}}
.