14628. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с острым углом \varphi
и площадью S
. Площадь боковой грани, прилежащей к гипотенузе, равна Q
. Найдите объём призмы.
Ответ. \frac{1}{2}Q\sqrt{S\sin2\varphi}
.
Решение. Пусть прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине C
и площадью S
— основание прямой призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, \angle ACB=\varphi
, а площадь боковой грани AA_{1}B_{1}B
равна Q
.
Пусть CH
— высота прямоугольного треугольника ABC
. Обозначим BC=a
, AC=b
, CH=h
. Тогда
a=b\tg\varphi,~S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}b^{2}\tg\varphi,
откуда b=\sqrt{2S\ctg\varphi}
. Значит,
h=b\sin\varphi=\sqrt{2S\ctg\varphi}\cdot\sin\varphi=\sqrt{2S\cdot\cos\varphi\sin\varphi}=\sqrt{S\sin2\varphi}.
Пусть V
— объём призмы. Поскольку CH\perp AB
и CH\perp AA_{1}
, то CH
— перпендикуляр к плоскости грани AA_{1}B_{1}B
. Следовательно (см. задачу 7237),
V=\frac{1}{2}Q\cdot CH=\frac{1}{2}Qh=\frac{1}{2}Q\sqrt{S\sin2\varphi}.